दो की घातों से बने एक समतल ग्रिड और पूरी तरह तीनों से बने एक घन के बीच अवस्था-अवकाश का मुकाबला।
अंग्रेज़ी में लिखा और संपादित। यह हिन्दी संस्करण मशीनी अनुवाद से तैयार किया गया है; जहाँ सटीकता महत्वपूर्ण हो, वहाँ अंग्रेज़ी मूल ही प्रामाणिक है। मूल अंग्रेज़ी में पढ़ें →
दोनों खेल स्लाइडिंग-संख्या पहेलियाँ हैं। 2048 में आप सोलह खानों के 4×4 ग्रिड को चार दिशाओं में से किसी एक में धकेलते हैं; बराबर टाइलें टकराती हैं और दोगुनी हो जाती हैं, दो की घातों में चढ़ती हुई। 3927 में आप सत्ताईस खानों के 3×3×3 घन को छह दिशाओं में से किसी एक में धकेलते हैं; तीन बराबर ब्लॉक टकराते हैं और तिगुनी हो जाते हैं, तीन की घातों में चढ़ते हुए, 3, 9, 27, नाम के बिल्कुल वे अंक। 1 यह पूछना कि कौन सा कठिन है, वास्तव में यह पूछना है कि कौन सा खेल संभावित स्थितियों का बड़ा महासागर छुपाता है। तो आइए पानी को मापने की कोशिश करें।
एक बोर्ड का कच्चा आकार (प्रति खाना प्रतीक)cells के रूप में बढ़ता है। खानों की संख्या घातांक में बैठती है, जहाँ सारा लाभ है। 2048 सोलह खाने प्रदान करता है; 3927 सत्ताईस खाने प्रदान करता है। प्रति-खाना वर्णमाला को स्थिर रखें और घन पहले से ही लगभग a27−16 = a11 गुना बड़ा है, दस प्रतीकों की वर्णमाला के साथ, केवल यह बात ही सौ अरब गुना अधिक अवस्थाएँ हैं, इससे पहले कि हम कुछ और का हिसाब लगाएँ। अतिरिक्त आयाम, बेस-3 अंकगणित नहीं, वास्तविक इंजन है।
प्रत्येक खाना या तो खाली है या एक टाइल मान रखता है। 2048 के लिए, 256 टाइल तक सीमित, एक खाना नौ प्रतीकों में से एक बोलता है, खाली, साथ में {2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256}। इसी वर्णमाला से बने एक प्रकाशित ऊपरी सीमा 4×4 बोर्ड को लगभग 5.63 × 1014 स्थितियों पर रखती है, और लेखक ईमानदार हैं कि यह छत अवैध बोर्ड शामिल करती है जो वास्तव में कभी नहीं हो सकतीं। 2 3927 को तुलनीय गहराई दें, खाली साथ में {3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187}, आठ प्रतीक, और इसकी कच्ची छत 827 ≈ 2.4 × 1024 है। बेस 3, बेस 2 की तुलना में 3927 को प्रति खाना कम प्रतीक देता है; ग्यारह अतिरिक्त खाने इसे आसमान वापस दे देते हैं।
मान सीढ़ियों को थोड़ा गहरे स्लाइड करें और 3927 की छत 2048 की छत को कहीं एक अरब से एक सौ अरब गुना के बीच आगे निकल जाती है। घन घातांक पर जीतता है।
किसी ने पूर्ण-आकार 2048 की पहुँच योग्य अवस्थाओं की सूची नहीं बनाई, बल्कि 3927 की तो बिल्कुल नहीं। लेकिन शोधकर्ताओं ने हमारे पास छोटे 2048 बोर्डों को व्यापक रूप से हल किया है, और वे सटीक आँकड़े हमारे अनुमानों को आधार देते हैं। 2048 का 3×3 बोर्ड 48,713,519 पहुँच योग्य अवस्थाएँ रखता है; इसे 4×3 तक बढ़ाएँ और गिनती एक खरब से पार कूद जाती है, 1,152,817,492,752 अवस्थाएँ, 739,648,886,170 अलग-अलग चाल-पश्चात स्थितियों के साथ। 3 प्रत्येक जोड़ा गया खाना दुनिया को गुणा करता है। उस वक्र को 27 खानों तक बढ़ाएँ और कोई ईमानदार तालिका एकल संख्या नहीं छाप सकती।
| गुण | 2048 | 3927 |
|---|---|---|
| बोर्ड | 4×4 समतल | 3×3×3 घन |
| खाने | 16 | 27 |
| संख्या आधार | 2 | 3 |
| विलय नियम | 2 बराबर → दोगुना | 3 बराबर → तिगुना |
| शिफ्ट दिशाएँ | 4 | 6 |
| प्रतीक / खाना (समान गहराई) | 9 | 8 |
| कच्ची छत (अवैध सहित) | ~1.9 × 10¹⁵ | ~2.4 × 10²⁴ |
| उद्धृत परिष्कृत ऊपरी सीमा | 5.63 × 10¹⁴ | कोई प्रकाशित नहीं |
| सटीक गिनती, 4×3 उप-बोर्ड | 1.15 × 10¹² | , |
यहाँ हर बड़ी संख्या एक ऊपरी सीमा या क्रम-मात्रा का अनुमान है, कभी जनगणना नहीं। छतें उन बोर्डों की गिनती करती हैं जिन्हें वैध खेल कभी नहीं पहुँच सकता, तीन अकेले 2, उदाहरण के लिए, या मान जो कोई मर्ज अनुक्रम उत्पन्न नहीं कर सकता। 2048 के आँकड़े समीक्षा-समीक्षित कार्य से लिए गए हैं; 3927 के आँकड़े मेरे अपने बैक-ऑफ-एनवेलॉप छतें हैं, उसी तरह से गणना की गईं, और उन्हें "इससे कम नहीं, शायद बहुत कम" के रूप में पढ़ा जाना चाहिए। दोनों खेल के नियम खेल के डिज़ाइन दस्तावेज़ों से मापे गए हैं, माने नहीं गए हैं।
अवस्था-क्षेत्र का आकार नक्शा है; शाखा-गुणक यह है कि आप उसे कितनी तेज़ी से पार करते हैं। हर बारी पर खिलाड़ी एक दिशा चुनता है, 2048 में चार तक और 3927 में छह तक, इसलिए घन हर चाल के लिए वास्तविक विकल्पों में पचास प्रतिशत अधिक प्रदान करता है। फिर संयोग हस्तक्षेप करता है: खेल एक नई टाइल किसी यादृच्छिक खाली खाने में गिराता है। 2048 में 2 या 4 उत्पन्न होता है, जो अधिकतम पंद्रह खाली खानों में प्रत्येक खाली खाने के लिए लगभग दो परिणाम देता है; 3927 हमेशा एकल 3 उत्पन्न करता है, लेकिन अधिकतम छब्बीस खाली खानों में। 1 निर्णय को संयोग से गुणा करें और 3927 का खेल-वृक्ष हर प्लाय पर चौड़ाई से फैलता है, और, क्योंकि तीन के विलय दो के विलय से दुर्लभ होते हैं, इसके चालें आमतौर पर लंबी होती हैं, जिससे वृक्ष गहरा भी होता है और चौड़ा भी।
किसी इंसान के लिए "कठिन" होना अनुभव की बात है, और 2048 भी कोई आसान शिकार नहीं है, यह तय करना कि क्या कोई मनमानी स्थिति किसी लक्ष्य टाइल तक पहुँच सकती है, सामान्य बोर्ड पर प्रमाणित रूप से NP-hard है। 4 लेकिन एक संयोजनात्मक वस्तु के रूप में, 3927 एक चौड़े, ईमानदार अंतर से बड़ा जानवर है: घातांक में अधिक खाने, शाखा-विस्तार में अधिक दिशाएँ, गहराई में लंबे खेल। जो बेस-3 अंकगणित इसे इसका नाम देता है, वह लगभग एक भटकाने वाला संकेत है। कठिनाई कभी तीनों में नहीं थी। वह तीसरे आयाम में थी।
Method: per-cell alphabet counts and the ceilings 916 and 827 are elementary combinatorics on matched value-ladder depths; the 2048 refined bound and exact sub-board counts are quoted from the cited papers. All 3927 figures are the author's estimates computed by the same recipe and are upper bounds, not enumerations. Where the two games' possibility spaces are compared, ratios are stated as ranges to reflect that uncertainty.