दो मर्ज खेल, एक प्रश्न: क्या इनमें से किसी एक को निष्कलं रूप से खेला जा सकता है? उत्तर बोर्ड के कोने, एक ऐसे प्रतिद्वंद्वी से गुज़रता है जो कभी नहीं आता, और एक ऐसे संख्या से जो सत्रह घातांकों की ऊँचाई का है।
अंग्रेज़ी में लिखा और संपादित। यह हिन्दी संस्करण मशीनी अनुवाद से तैयार किया गया है; जहाँ सटीकता महत्वपूर्ण हो, वहाँ अंग्रेज़ी मूल ही प्रामाणिक है। मूल अंग्रेज़ी में पढ़ें →
उस खेल से शुरू करें जिसे सभी जानते हैं। 2048, चार दिशाएँ, एक 4×4 ग्रिड, टाइलें जो छूते ही दोगुनी हो जाती हैं, सख्ती से कहें तो, अहल है। किसी ने ऐसा एल्गोरिदम नहीं लिखा है जो इसे परिपूर्ण रूप से खेले। हमारे पास बहुत मज़बूत अनुमान हैं। एक expectimax खोज, जो आठ या इतनी ही चालों आगे झाँकती है और प्रत्येक बोर्ड को कुछ हाथ से समायोजित हेयुरिस्टिक्स — खाली खाने, किनारे पर पिन की गई बड़ी टाइलें, चिकनाई — के आधार पर ग्रेड देती है, अपने खेलों के एक तिहाई से बेहतर हिस्से में 32768 टाइल तक पहुँचती है, 1 और सबसे मज़बूत सार्वजनिक इंजन कुछ प्रतिशत बार 65536 टाइल तक पहुँचता है। 2 इसे m×n बोर्ड तक सामान्यीकृत करने पर, केवल यह तय करना कि क्या लक्षित टाइल पहुँचनी योग्य है, NP-hard है। 3 मज़बूत होना हल हो जाने के बराबर नहीं है।
एक टाइल कितनी ऊँची तक चढ़ सकती है? सोलह खानों पर उत्तर गिनती का एक छोटा, सुंदर टुकड़ा है। बोर्ड को एक अवरोही सीढ़ी की तरह रखें, 65536, 32768, 16384, नीचे तक एक अकेले 2 तक। प्रत्येक टाइल अपने पड़ोसी से ठीक एक पावर ऑफ टू नीचे है, इसलिए सोलह अलग-अलग पावर 21 से 216 तक बोर्ड को परिपूर्ण रूप से भर देते हैं, और 65536 = 216 शिखर पर बैठता है: प्रति खाना एक घातांक। यह छत है यदि खेल आपको केवल 2 ही देता है। लेकिन 2048 दस बार में एक बार 4 पैदा करता है, और एक समय पर आया 4 सत्रहवाँ घातांक चोरी से ले आता है, जो वास्तविक अधिकतम को 131072 = 217 तक उठा देता है, सोलह वर्गों में पैक किए गए सत्रह टाइलों के पावर। 4 किसी इंसान ने इसे नहीं बनाया; कुछ AI ने इसे छुआ है।
इन बोर्ड्स में आपकी सबसे बड़ी टाइल को कोने में छुपाने का पुरस्कार क्यों मिलता है? बीच की टाइल को चार दिशाओं में धकेला जा सकता है, और वह उसी टाइल से अलग होती रहती है जिससे उसे मर्ज करना है। कोने की टाइल दो दीवारों को छूती है; वह केवल तभी हिलती है जब आप उसकी ओर धकेलते हैं जहाँ वह पहले से ही सिकुड़ी है, इसलिए वह स्थिर रहती है जबकि सब कुछ उसके चारों ओर व्यवस्थित होता है। बाकी को एक मोनोटोन साँप में जोड़ें, कोने में सबसे ऊँचा, अवरोही क्रम में आगे-पीछे मोड़ते हुए, और एक स्वाइप मर्जों के एक झरने को शुरू कर सकता है। 1 यह वह हेयुरिस्टिक है जो सामान्य मानव खेल को प्रभावित करती है, और यह लगभग वही है जो AI अपने वज़न को स्वयं समायोजित करने दें तो फिर से खोज लेते हैं।
एक मर्ज खेल जिसमें यादृच्छिक पैदावार होती है, उसमें कोई प्रतिद्वंद्वी नहीं, केवल मौसम है। इसे "हल" करने का मतलब है औसतन पासा हारना, किसी दिमाग को हारना नहीं।
अब बोर्ड को तीन आयामों में झुकाएँ। 3927, 2048 का घनाकार रिश्तेदार है: 27 खानों का 3×3×3 जाल, चार के बजाय छह शिफ्ट दिशाएँ, और टाइलें जो तीन-तीन करके जुड़ती हैं, 3 से 9, 9 से 27, 27 से 81, बेस थ्री जहाँ 2048 बेस टू है। 5 क्या कोने-स्टैकिंग अतिरिक्त आयाम की चुनौती का सामना कर पाता है? एक घन के आठ कोने होते हैं, और एक कोने का खाना अब दो के बजाय तीन चेहरों को छूता है, यह और भी स्थिर होना चाहिए, एक साथ तीन दीवारों से पिन किया गया, हालाँकि छह दिशाएँ बोर्ड को आपके ढाँचे को ढीला करने के लिए अधिक तरीके देती हैं। साँप एक मोड़दार पथ बन जाता है जो तीनों परतों को पिरोता है। जितना मैं खोज सका, किसी ने यह तय नहीं किया है कि क्या यह समानता वास्तव में लागू होती है, तर्क, मापन नहीं।
और छत? प्रति-खाना-एक-घातांक नियम 327 ≈ 7.6 ट्रिलियन को एक ढीले ऊपरी सीमा के रूप में सुझाएगा। लेकिन समानता खराब हो जाती है। 2048 का अतिरिक्त घातांक एक भाग्यशाली 4 से आया था; 3927 केवल सबसे छोटी टाइल पैदा करता है, एक नंगी 3, इसलिए कोई बोनस नहीं है। बदतर, एक ट्रिपल-मर्ज के लिए तीन टाइलों को एक रेखा में संरेखित होना चाहिए, और 3×3×3 घन पर हर पंक्ति, स्तंभ और खंभा ठीक तीन खाने लंबा है, इसलिए हर मर्ज एक पूरी रेखा खपत करता है। यह प्रतिबंध फ्लैट खेल में किसी भी चीज़ से कहीं अधिक कठोर है और लगभग निश्चित रूप से वास्तविक अधिकतम को 327 से बहुत नीचे खींचता है। वह वास्तविक संख्या क्या है, मैंने कहीं गणना नहीं पाई। (स्पष्ट रूप से लेबल किया गया तर्क; ऊपर दिए गए तंत्र खेल के डिज़ाइन दस्तावेज़ों से मापे गए हैं।)
यहाँ वह सूक्ष्मता है जो "पूर्ण चाल" को अस्पष्ट बनाती है। यादृच्छिक उत्पत्ति वाला मर्ज खेल एक एकल-खिलाड़ी संभाव्यतात्मक खेल है, पासा के विरुद्ध एक अकेला खेल, न कि एक द्वंद्व। कुछ भी आपकी बर्बादी के लिए सबसे खराब उत्पत्ति का चयन नहीं करता; वहाँ केवल RNG है, जो उदासीन है। अतः अनुकूल चाल का सही संकल्पन expectimax है: उत्पत्तियों के वितरण के ऊपर अपेक्षित परिणाम को अधिकतम करना। यह स्पष्ट रूप से नहीं minimax है, क्योंकि minimax एक विरोधी की धारणा करता है, और यदि आप वास्तव में उसे हर टाइल रखने दें ("evil 2048"), तो खेल एक क्रूर चीज़ बन जाता है जिसमें आप को हारने के लिए मजबूर किया जा सकता है। चूँकि पासे मूलतः कोई भी अनुक्रम दे सकते हैं, एक रणनीति जो किसी दिए गए टाइल को निश्चित करती है, वह शायद ही मौजूद हो। अतः "क्या कोई पूर्ण रणनीति है?" का ईमानदार उत्तर यह है कि एक संभाव्यतात्मक खेल के लिए आप जो भी परिभाषित कर सकते हैं वह केवल औसत में सर्वोत्तम है, और 2048 के लिए इसकी सटीक गणना पहुँच से बाहर है 6 और 3927 के लिए यह पूरी तरह खुला है।