आधार तीन की छिपी हुई दक्षता, और क्या इस पर आधारित कोई खेल चुपचाप अधिक सुंदर मशीन है।
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3927, 2048 का तीन आयामों में और अलग गणित में पुनर्निर्माण है। बोर्ड एक 3×3×3 घन है, सत्ताईस खाने, और आप पूरे घन को छह दिशाओं में से किसी भी दिशा में धकेलते हैं। जब तीन समान मूल्य वाली टाइलें टकराती हैं, तो वे दोगुनी नहीं होतीं; वे तिगुनी हो जाती हैं। तीन बन जाता है नौ, नौ बन जाता है सत्ताईस, और आगे: 81, 243, 729। नाम स्वयं पहली तीन टाइलों को चढ़ते क्रम में गिनता है, 3·9·27, और डिज़ाइन के बारे में सब कुछ नीचे तक तीनों का है: प्रति अक्ष तीन, मर्ज के लिए तीन, और वृद्धि गुणक के रूप में तीन। 4
इसका पूर्वज दृढ़ता से द्विआधारी है। क्लासिक 2048 दो के घातों, 2, 4, 8, 16… में चलता है, और टाइलों को जोड़ों में मर्ज करता है। दो सिक्के के फ्लिप, ट्रांज़िस्टर और बिट की संख्या है। इसलिए जिज्ञासु खिलाड़ी द्वारा पूछे जाने वाला स्वाभाविक प्रश्न यह है कि दो को तीन से बदलना केवल नवाचार है, या तीन में हमेशा से एक वास्तविक लाभ छिपा था। पता चला कि गणित का एक मत है, और वह मत आश्चर्यजनक रूप से दृढ़ है।
कल्पना करें कि आपको एक ऐसी मशीन बनानी है जो संख्याओं को संग्रहीत करे। प्रत्येक अंक स्थिति आपको कुछ खर्च करती है, एक पहिया, एक तार, एक ट्यूब, और वह खर्च आधार के साथ बढ़ता है, क्योंकि एक आधार-b अंक को b पहचाने जा सकने वाले अवस्थाओं की आवश्यकता होती है। लेकिन एक बड़ा आधार इसका भी मतलब है कि आपको किसी दिए गए संख्या तक पहुँचने के लिए कम अंकों की आवश्यकता होती है। यहाँ एक तनाव है, और इसका एक नाम है: रेडिक्स इकोनॉमी।
औपचारिक रूप से, किसी संख्या N को आधार b में व्यक्त करने की इकोनॉमी, आधार और अंक संख्या का गुणनफल है, E(b,N) = b ⌊logb N + 1⌋। 1 एक बड़ा आधार आपको छोटी संख्याएँ खरीदता है लेकिन महंगे अंक; एक छोटा आधार प्रति अंक सस्ता है लेकिन फैलता है। इन दोनों चरमों के बीच कहीं एक मीठा बिंदु है, और वह वहाँ नहीं है जहाँ हमारी अधिकांश तकनीक पहुँची है।
| आधार | b ÷ ln b | बनाम आदर्श |
|---|---|---|
| 2 | 2.885 | +6.2% |
| 3 | 2.731 | +0.5% |
| e ≈ 2.718 | 2.718 | आदर्श |
| 10 | 4.343 | +59.8% |
बड़े N के लिए, इकोनॉमी (b ÷ ln b) · ln N की तरह व्यवहार करती है, इसलिए किसी आधार की दक्षता पूरी तरह से b ÷ ln b गुणक पर निर्भर करती है। थोड़े कैलकुलस के साथ उसकी न्यूनतम करें और उत्तर सटीक और अजीब है: सबसे आर्थिक आधार e है, लगभग 2.71828। 1 बेशक, आप ऐसा कंप्यूटर नहीं बना सकते जिसमें प्रति अंक 2.718 अवस्थाएँ हों। लेकिन आप पूछ सकते हैं कि पूर्णांक उस आदर्श के सबसे करीब कौन सा है, और विजेता, जो दो और दस दोनों को हराता है, तीन है।
यह अंतर केवल शैक्षणिक नहीं है। आधार तीन सैद्धांतिक आदर्श के आधे प्रतिशत के भीतर आता है, जबकि द्विआधारी छह प्रतिशत की अतिरिक्त शुल्क देता है और दशमलव एक कुचलने वाला छहसौ। इसे महसूस करने का एक ठोस तरीका: 0 से 999,999 तक हर संख्या लिखने के लिए, द्विआधारी को 20 अंकों की आवश्यकता होती है, दशमलव को 6, लेकिन तर्नरी को केवल 13, और 13×3, 20×2 से छोटा कुल है। 1 तीन वास्तव में कम संरचना में अधिक गिनती पैक करता है।
प्रकृति से सबसे दक्ष गिनती के तरीके का नाम लेने को कहा गया, और उसने एक अपरिमेय संख्या के साथ उत्तर दिया। उस उत्तर के सबसे करीब का पूर्ण संख्या तीन है।
यह केवल पाठ्यपुस्तकों की एक जिज्ञासा नहीं है। 1958 में, मॉस्को स्टेट यूनिवर्सिटी में, निकोलाय ब्रुसेंटसॉफ़ और गणितज्ञ सर्गेई सोबोलेव के नेतृत्व में एक टीम ने सेटून बनाया, जो अब तक बनाई गई सबसे प्रसिद्ध त्रि-आधारित कंप्यूटर है। 3 जहाँ पश्चिम बिट्स के प्रति प्रतिबद्ध हो रहा था, सेटून ट्रिट्स में गिनती करता था, और इसने एक विशेष रूप से सुंदर योजना का उपयोग किया: संतुलित त्रिक, जिसके तीन अंकीय मान 0, 1, 2 नहीं बल्कि −1, 0, +1 हैं। 2
सममिति तुरंत फायदेमंद साबित होती है। एक संख्या अपने चिह्न को स्वयं धारण करती है, कोई अलग साइन बिट नहीं, कोई टूज़-कॉम्प्लीमेंट विकृतियाँ नहीं, और किसी भी मान को ऋणात्मक करने के लिए आप बस हर अंक को उलट देते हैं। राउंडिंग और ट्रंकेटिंग एक ही संचालन बन जाते हैं। डोनाल्ड क्नूथ ने इसे "शायद सबसे सुंदर संख्या प्रणाली" माना। 2 ब्रुसेंटसॉफ़, ट्रांज़िस्टर की कमी के बावजूद, युग्मित फ़ेराइट कोरों से तीन स्थिर अवस्थाएँ निकालीं; लगभग पचास सेटून बनाए गए, जिनमें से अधिकांश सोवियत विश्वविद्यालयों में गणित पढ़ाने के लिए भेजे गए। 3 मशीन काम करती थी, और यह सस्ती थी, और यह अपने पड़ोसियों से चुपचाप आगे थी।
यहाँ एक सावधान लेखक को अपने आप को रोकना चाहिए। रेडिक्स अर्थव्यवस्था एक दावा है जो विशिष्ट लागत मान्यताओं के तहत संख्याओं को संग्रहीत और प्रोसेस करने के बारे में है, और गणितज्ञ भी ध्यान देते हैं कि वे मान्यताएँ केवल अनुमानित हैं, एक पूर्ण हिसाब अक्सर द्वि-आधारित को पुनः-समर्थित करता है, यही कारण है कि दुनिया इस पर चलती है। 1 एक मर्ज पज़ल एक मेमोरी बैंक नहीं है; कोई भी कॉफ़ी ब्रेक पर ट्यूब की संख्या को न्यूनतम करने की कोशिश नहीं कर रहा है। इसलिए 3927 किसी भी भारी इंजीनियरिंग अर्थ में "अधिक कुशल" नहीं है, और ऐसा कहना धोखा होगा।
और फिर भी। खेल कुछ सच का वारिस है। तीन गुना करके वृद्धि कम, अधिक महत्वपूर्ण चालों में बड़ी संख्याओं तक पहुँचती है; हर मर्ज अधिक कार्य करता है, और 3×3×3 घन सबसे छोटा बोर्ड है जो हर दिशा में त्रि-दिशात्मक फ्यूजन को साँस लेने देता है। 4 डिज़ाइन तीन पर गिरकर नहीं पहुँचा, बल्कि उस पूर्णांक पर पहुँचा जिसे गिनती का गणित एक सदी से चुपचाप पसंद करता रहा है, वही जिसकी सेटून के इंजीनियरों ने जानबूझकर चयन किया। दो वह संख्या है जिस पर हम डिफ़ॉल्ट रूप से गए। तीन वह संख्या है जिसे हमने चुना होता यदि दक्षता, और सिक्का फ्लिप, अंतिम निर्णय लेती। टाइल्स के संयोगवश 3, 9, 27 बोलना ब्रह्मांड की एक छोटी मज़ाक है जो पहले से ही चल रहा था।
Game facts, the 3×3×3 board, six shift directions, three-tile ×3 merge, and the 3·9·27 naming, are measured from the game's design documents. Mathematical and historical claims are drawn from the references below.