क्या वे मिल सकते थे?

जीवन एक अंतराल है

किसी ऐतिहासिक व्यक्ति को घटाकर उतना ही रहने दीजिए जितने की खेल को ज़रूरत है, और लगभग कुछ नहीं बचता। न उनका काम, न उनकी ख्याति, बस दो संख्याएँ: जन्म का वर्ष और मृत्यु का वर्ष। Leonardo da Vinci (लियोनार्दो दा विंची) बन जाते हैं 1452–1519; William Shakespeare (विलियम शेक्सपियर) बन जाते हैं 1564–1616। खेल के अपने स्रोत में हर जीवन “एक बंद पूर्णांक अंतराल” है, जो जन्म-वर्ष से मृत्यु-वर्ष तक चलता है। ¹

वह शब्द बंद यहाँ असली काम कर रहा है। बंद अंतराल अपने दोनों सिरों को अपने भीतर शामिल करता है, इसलिए जिस वर्ष आप जन्मे और जिस वर्ष आपकी मृत्यु हुई, दोनों ही आपके जीवित रहने के वर्षों में गिने जाते हैं। यह छोटा-सा निर्णय है, पर इसका असर दिखाई देता है: दो लोग तब भी “मिल” सकते हैं जब एक की मृत्यु ठीक उसी वर्ष हुई हो जिस वर्ष दूसरे का जन्म हुआ। खेल इसे जान-बूझकर अपने भीतर रखता है: जब वह सबसे बड़ा समूह खोजने के लिए किसी हाथ के जन्मों और मृत्युओं को वर्ष-क्रम में छानता है, तो “एक ही वर्ष पर जन्मों की प्रोसेसिंग मृत्युओं से पहले होती है”, इसलिए 1519 में ख़त्म होता जीवन 1519 में शुरू होते जीवन को छू ही लेता है। ¹

दो जीवन या तो अतिव्यापी होते हैं, या नहीं

यह पूछना कि दो लोग मिल सकते थे या नहीं, दरअसल यह पूछना है कि उनके दोनों अंतराल कोई एक वर्ष भी साझा करते हैं या नहीं। इसे जाँचने का एक साफ़ तरीक़ा है। दो जीवन-अवधियाँ ठीक तभी अतिव्यापी होती हैं जब उनमें से हर एक दूसरी के ख़त्म होने के बाद शुरू न होती हो। कोड में यह एक ही पंक्ति है: A का जन्म ≤ B की मृत्यु और B का जन्म ≤ A की मृत्यु। ¹

इसे ऊपर दिए गए आमने-सामने पर चलाकर देखिए। Da Vinci (1452–1519) और Michelangelo (मिकेलांजेलो, 1475–1564): Michelangelo का जन्म 1475 में होता है, यानी 1519 में Leonardo की मृत्यु से काफ़ी पहले, और Leonardo का जन्म Michelangelo की मृत्यु से बहुत पहले हो चुका था — अतिव्यापन पक्का, साझा 45 वर्षों की एक खिड़की, 1475 से 1519 तक। और Da Vinci तथा Shakespeare? Leonardo की मृत्यु 1519 में होती है; Shakespeare का जन्म 1564 से पहले होता ही नहीं। दोनों अंतराल कभी छूते तक नहीं। इतिहास के दो शिखर नाम, और जन्म-मृत्यु का सादा अंकगणित दो टूक कहता है: वे मिल ही नहीं सकते थे। ¹

वह छलाँग जो इसे पहेली बना देती है

दो लोगों को परखना अंकगणित है। खेल इससे बड़ी चीज़ माँगता है: आपके हाथ में से वह सबसे बड़ा समूह जिसके सभी लोग एक साथ जीवित रहे हो सकते थे — जोड़ी-दर-जोड़ी नहीं, बल्कि किसी एक ही साझा क्षण में। और यहाँ अंतर्ज्ञान भटका सकता है, क्योंकि “इस समूह का हर व्यक्ति हर दूसरे से मिल सकता था” और “कोई एक वर्ष ऐसा था जब वे सब एक साथ जीवित थे” — ये दोनों दावे स्पष्ट रूप से एक ही नहीं लगते।

उल्लेखनीय बात यह है कि जीवन-अवधियों के मामले में यह वही दावा है, और खेल ठीक इसी पर टिका है। हर जोड़ी जाँचने के बजाय वह पूरे समूह को एक ही झटके में जाँच लेता है: कोई समुच्चय तभी और केवल तभी कोई साझा वर्ष रखता है जब उसमें सबसे बाद का जन्म सबसे पहली मृत्यु के बाद न आता हो। समूह को क़तार में खड़ा कीजिए, सबसे नए आगंतुक और सबसे पहले विदा हुए व्यक्ति को लीजिए; अगर नवागंतुक पहले व्यक्ति के जाने से पहले आ चुका था, तो कोई एक वर्ष ऐसा है जो उन सबको एक साथ थामे हुए है। ¹

खेल ठीक यही गणना करता है। वह समुच्चय में अधिकतम जन्म-वर्ष और न्यूनतम मृत्यु-वर्ष खोजता है और जाँचता है कि सबसे बाद का जन्म ≤ सबसे पहली मृत्यु है या नहीं। ¹ एक ही तुलना पूरी भीड़ को प्रमाणित कर देती है। यह शॉर्टकट काम करने की इजाज़त आख़िर पाता ही क्यों है, यह अपने आप में एक छोटा गणितीय चमत्कार है जिसका एक नाम और एक तारीख़ है — और वही इस शृंखला के एक साथी निबंध का विषय है। ²

साझा वर्ष खोजना

पुनर्जागरण के पाँच कलाकारों का एक हाथ लीजिए, इतालवी और जर्मन, जिनके जीवन 1445 से 1576 तक फैले हैं। अतिव्यापन की कसौटी बस दो स्तंभों के बीच की दौड़ है: जन्म वाले स्तंभ की सबसे बड़ी संख्या और मृत्यु वाले स्तंभ की सबसे छोटी संख्या। ¹

da Vinci, Dürer, Michelangelo और Titian में सबसे बाद का जन्म Titian का 1488 है और सबसे पहली मृत्यु da Vinci की 1519। चूँकि 1488 ≤ 1519, इसलिए चारों 1488 से 1519 तक का हर वर्ष साझा करते हैं — एक ऐसी साझा खिड़की जिसमें गुंजाइश भी बची हुई है। अब Botticelli को जोड़िए, तो खिड़की सिकुड़ती ज़रूर है पर टिकी रहती है: 1510 में हुई उनकी मृत्यु सबसे पहली मृत्यु बन जाती है, और चूँकि 1488 ≤ 1510, इसलिए पाँचों 1488 से 1510 तक के वर्ष साझा करते हैं। लेकिन 1510 के बाद जन्मे किसी भी व्यक्ति को जोड़िए, और सबसे बाद का जन्म सबसे पहली मृत्यु से ऊपर चढ़ जाएगा, और समूह बिखर जाएगा। खेल की कला यही जानने में है कि किस नाम को बाहर छोड़ना है। ¹

ऊपर दिए गए वर्ष और जीवन-अवधियाँ सीधे खेल की अपनी व्यक्ति-सूची से ली गई हैं। ¹

एक ऐसा नियम जिसे कोई भी एक हाथ में थाम सकता है

खेलों की सबसे अच्छी क्रियाविधियाँ वही होती हैं जिन्हें आप एक वाक्य में कह सकें और फिर घंटे भर उनमें महारत पाने में नाकाम रहें। Contemporaries इस कसौटी पर खरा उतरता है। नियम इससे ज़्यादा कुछ नहीं कि “कोई एक वर्ष साझा कीजिए”, और कसौटी इससे ज़्यादा कुछ नहीं कि एक अधिकतम की एक न्यूनतम से तुलना कर लीजिए। अंक-गणना भी उतनी ही सादी है: बड़ा वैध समूह, और जितनी जल्दी खोजा जाए, उतने ज़्यादा अंक, और संभव सबसे बड़े समूह से मेल खाने पर एक बोनस। खेल ऐसा समूह स्वीकार ही नहीं करेगा जिसने कभी कोई वर्ष साझा न किया हो; वह आपसे कहता है कि जमा करने से पहले उसे सुधार लीजिए। समूह तय हो जाने के बाद नतीजे का कार्ड कसौटी को फिर तारीख़ों में बदल देता है: वह बताता है कि आपके अपने चुने हुए लोग उनमें से सबसे बाद के जन्म और सबसे पहली मृत्यु के बीच सभी जीवित थे, और अगर आप सबसे बड़े समूह से पीछे रह गए, तो वह यह भी बताता है कि उस समूह में कितने लोग थे और किन वर्षों में उसके सभी सदस्य जीवित थे। न कोई शब्दावली रटनी है, न कोई छिपी हुई अवस्था है। जो कुछ आपको चाहिए, सब कार्डों पर छपा है: एक नाम, एक क्षेत्र, दो वर्ष और उनके बीच की अवधि। ¹

लेकिन यह नियम जो कुछ पैदा करता है, वह पहुँच और हक़ीक़त के बीच का एक सच्चा तनाव है। आप सबसे बड़ा समूह चाहते हैं, इसलिए मन करता है कि मेज़ पर रखा हर कार्ड समेट लिया जाए। पर आप जिस भी नए व्यक्ति को जोड़ते हैं, वह या तो सबसे बाद के जन्म को और बाद खींच सकता है या सबसे पहली मृत्यु को और पहले, इसके उलट कभी नहीं। हर जोड़ एक ऐसा दाँव है जो साझा खिड़की को सँकरा करता है। वही इकलौती, ईमानदार शर्त पूरा खेल है, और वह पूरी की पूरी मानव जीवन के सबसे विनम्र संभव मॉडल से आती है: वह वर्ष जब वह शुरू हुआ और वह वर्ष जब वह ख़त्म हुआ। ¹