Line of Fit

आपको बिंदुओं का एक बिखराव और एक रेखा y = m·x + b मिलती है, जो शुरू में y = 0 पर सपाट होती है। ढलान m और अंतःखंड b को स्लाइडरों से या रेखा को खींचकर सेट करें। हर बिंदु से आपकी रेखा तक एक लाल अवशिष्ट रेखा जाती है, जो दिखाती है कि आपकी रेखा उस बिंदु से कितनी चूकती है। Exact और Best Fit में खेलते समय आपकी त्रुटि छिपी रहती है: फ़िट को आँख से परखें, फिर Lock in दबाएँ। परिणाम में आपकी त्रुटि, लक्ष्य, आपकी सटीकता और वह रेखा दिखती है जिसका आप लक्ष्य कर रहे थे, जो डैश रेखा में खींची होती है।

• Exact: 4 से 8 बिंदु एक छिपी हुई रेखा पर ठीक-ठीक स्थित होते हैं, इसलिए एकदम सही Lock in की त्रुटि 0 होती है।
• Best Fit: 8 से 16 बिंदु एक रेखा के आसपास बिखरे होते हैं, इसलिए कोई भी रेखा उन सबसे होकर नहीं गुज़रती। मानक (par) न्यूनतम-वर्ग रेखा की त्रुटि है, यानी उस रेखा की जिसके अवशिष्टों के वर्गों का योग न्यूनतम संभव होता है।
• Drift: बिंदु 30 सेकंड तक चलते रहते हैं और आप स्लाइडरों से रेखा को उन पर बनाए रखते हैं; त्रुटि लाइव दिखाई जाती है।
• त्रुटि अवशिष्टों के वर्गों का योग है: हर बिंदु की आपकी रेखा से ऊर्ध्वाधर दूरी का वर्ग करें और उन्हें जोड़ दें।
• स्कोर (Exact और Best Fit): सटीकता × (900 + गति बोनस), जहाँ सटीकता 1 / (1 + प्रति बिंदु मानक से ऊपर की त्रुटि) है और गति बोनस 100 से शुरू होकर 120 सेकंड के बाद 0 तक गिर जाता है। Drift में स्कोर 1,000 में से इस आधार पर मिलता है कि 30 सेकंड के कितने हिस्से में आपने अच्छा फ़िट बनाए रखा।
• Give up सबसे अच्छी रेखा दिखाता है और स्कोर 0 देता है।

Exact में ग्रिड से दो बिंदु पढ़ें। यदि वे (0, 3) और (2, 4) हैं, तो रेखा हर 2 क्षैतिज इकाइयों पर 1 ऊपर उठती है, इसलिए m = 0.5, और वह y-अक्ष को 3 पर काटती है, इसलिए b = 3। इन्हें सेट करें, Lock in करें, और त्रुटि 0 होगी: सटीकता 100%।

Best Fit में मान लीजिए 8 बिंदु हैं और मानक 15.3 है। 23.3 त्रुटि वाली रेखा Lock in करें तो आप मानक से 8 ऊपर हैं, यानी प्रति बिंदु 1, इसलिए आपकी सटीकता 1 / (1 + 1) = 50% है। इसे 30 सेकंड के बाद Lock in करें, जब गति बोनस 75 होता है, और आपका स्कोर 0.5 × 975 = 488 होगा।

• Daily: हर दिन सभी के लिए एक जैसे बिंदु, हर चुनौती और स्तर के लिए (दिन मध्यरात्रि UTC पर बदलता है)। हर चुनौती और स्तर का केवल आपका पहला Daily लीडरबोर्ड पर गिना जाता है; आपकी पहली चाल से ही उसे खेला हुआ माना जाता है।
• Practice: हर दौर में नए यादृच्छिक बिंदु; दूसरे दौर के लिए New दबाएँ।
• स्तर 1 से 5 बिंदु बढ़ाते हैं और, Best Fit और Drift में, बिखराव भी बढ़ाते हैं। Daily और Practice में हर चुनौती और स्तर के लिए अलग-अलग लीडरबोर्ड हैं।

• डेस्कटॉप: ढलान और अंतःखंड के स्लाइडर खींचें, या स्वयं रेखा को खींचें: बीच का हिस्सा अंतःखंड को खिसकाता है, सिरे ढलान को झुकाते हैं। संतुष्ट होने पर Lock in दबाएँ।
• फ़ोन और टैबलेट: स्लाइडरों या रेखा को अपनी उंगली से खींचें, फिर Lock in पर टैप करें; चुनौती, Daily या Practice, और स्तर बदलने के लिए ग्राफ़ के ऊपर के बटन टैप करें।

• पहले अंतःखंड सेट करें ताकि रेखा बादल के बीच से गुज़रे, फिर ढलान को तब तक झुकाएँ जब तक लगभग उतने ही बिंदु रेखा के ऊपर न हों जितने नीचे।
• न्यूनतम-वर्ग रेखा हमेशा औसत बिंदु, यानी माध्य x और माध्य y, से होकर गुज़रती है (सरल रैखिक समाश्रयण: संख्यात्मक गुण), इसलिए बादल का केंद्र खोजें और रेखा को उसके चारों ओर घुमाएँ।
• वर्ग करने से बड़ी चूकें छोटी चूकों से कहीं अधिक गिनी जाती हैं: दोगुना लंबा अवशिष्ट चार गुना त्रुटि जोड़ता है, इसलिए किसी दूर के बिंदु को रेखा से बहुत दूर लटका न छोड़ें।
• Exact में ऐसे दो बिंदु पढ़ें जो ग्रिड रेखाओं पर हों, और ढलान को ऊर्ध्व बदलाव बटा क्षैतिज बदलाव (rise over run) के रूप में निकालें।
• Drift में ढलान को स्थिर रखें और अंतःखंड से बादल का पीछा करें।

Line of Fit रैखिक समाश्रयण को ऐसी चीज़ बना देता है जिसे आप देख और महसूस कर सकते हैं: ढलान और अंतःखंड क्या करते हैं, अवशिष्ट क्या है, और सबसे अच्छी रेखा बिंदुओं से होकर गुज़रने के बजाय उन्हें संतुलित क्यों करती है।

• कौशल: रैखिक फलन, ढलान और अंतःखंड, प्रकीर्ण आरेख (स्कैटर प्लॉट), अवशिष्ट, न्यूनतम वर्ग
• इसके लिए सर्वोत्तम: लगभग कक्षा 8–12 (उम्र 13+)
• माता-पिता और शिक्षकों के लिए: पहले आँख से फ़िट करना और फिर न्यूनतम-वर्ग रेखा से तुलना करना सूत्रों तक पहुँचने का अच्छा रास्ता है, और Exact दौर ग्राफ़ से ढलान और अंतःखंड पढ़ने का अभ्यास कराते हैं।

खेल आपको जिस रेखा से मापता है, वह न्यूनतम-वर्ग रेखा है। न्यूनतम वर्ग विधि का पहला स्पष्ट विवरण आद्रियाँ-मारी लेजांद्र ने 1805 में धूमकेतुओं की कक्षाएँ ज्ञात करने पर एक कृति में प्रकाशित किया; 1809 में कार्ल फ़्रीडरिख़ गाउस ने अपनी विधि प्रकाशित की और दावा किया कि यह उनके पास 1795 से थी (न्यूनतम वर्ग: इतिहास)। गाउस की न्यूनतम-वर्ग गणनाएँ ही वे एकमात्र भविष्यवाणियाँ थीं जिनकी मदद से खगोलशास्त्री फ़्रांत्स क्सावर फ़ॉन त्साख क्षुद्रग्रह सेरेस को फिर से खोज पाए, जिसे जुज़ेप्पे पियात्सी ने 1801 में खोजा था और 40 दिनों तक उसका पीछा किया था (न्यूनतम वर्ग: विधि)।

रिग्रेशन (समाश्रयण) शब्द फ़्रांसिस गाल्टन से आया है, जिन्होंने 19वीं सदी में इसका प्रयोग इस प्रवृत्ति के लिए किया कि लंबे पूर्वजों के वंशजों की ऊँचाई औसत की ओर लौटती है (समाश्रयण विश्लेषण: इतिहास)। एक इनपुट और एक आउटपुट वाले बिंदुओं पर एक सीधी रेखा y = m·x + b फ़िट करना सरल रैखिक समाश्रयण है (सरल रैखिक समाश्रयण)।

Line of Fit एक मौलिक PlayPendium गेम है। इसके बिंदु एक सीड (seed) से बनाए जाते हैं, इसलिए Daily सभी के लिए एक जैसा होता है, और जिस न्यूनतम-वर्ग रेखा से यह आपकी तुलना करता है, उसकी गणना बिंदुओं के हर समूह के लिए ठीक-ठीक की जाती है। यह बिना इंस्टॉल या खाते के ब्राउज़र में चलता है।

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