शतरंज गहराई का हमारा मानक है। एक शांत डिज़ाइन-चयन WordChess को संभावित खेलों का कहीं अधिक विशाल क्षेत्र देता है।
अंग्रेज़ी में लिखा और संपादित। यह हिन्दी संस्करण मशीनी अनुवाद से तैयार किया गया है; जहाँ सटीकता महत्वपूर्ण हो, वहाँ अंग्रेज़ी मूल ही प्रामाणिक है। मूल अंग्रेज़ी में पढ़ें →
1950 में, सूचना सिद्धांत के जनक क्लॉड शैनन ने अनुमान लगाया कि शतरंज के कितने अलग-अलग खेल संभव हैं। उनका उत्तर, लगभग 10120, शैनन संख्या बन गया, और यह हमारी सहज समझ का आधार बना रहता है। 1 यह एक ऐसा आंकड़ा है जो भौतिक ब्रह्मांड को शर्मिंदा कर देता है, जिसमें केवल लगभग 1080 परमाणु होते हैं। 6 आप प्रत्येक परमाणु को अपना शतरंज-बोर्ड दे सकें, फिर भी हर खेल को खेलने के लिए पर्याप्त बोर्ड नहीं होंगे।
शतरंज यह मान्यता ईमानदारी से कमाता है। प्रारंभ से ही, सफेद के पास 20 चालें होती हैं; काला 20 चालों से जवाब देता है, और एक ही आदान-प्रदान के बाद पहले से ही 400 स्थितियाँ हो जाती हैं। छह आधा-चालों में, गिनती 119 मिलियन पार कर जाती है; दसवीं चाल तक यह 69 ट्रिलियन तक पहुँचती है। 4 खिलाड़ी इसे शाखा-गुणक कहते हैं, यानी प्रत्येक बारी में कानूनी विकल्पों की संख्या। शतरंज में यह औसतन लगभग 35 होता है। 2 वह मध्यम संख्या, चाल के बाद चाल जुड़ती हुई, खेल की रहस्यमयता का इंजन है। प्रथम बीस चालों में यह 1060 के क्रम के खेल उत्पन्न करता है। शतरंज की गहराई का स्रोत मोहरे नहीं हैं। यह शाखाएँ हैं।
शतरंज की प्रारंभिक चाल-गिनतीएँ सटीक रूप से ज्ञात हैं। WordChess की अनुमान हैं, लेकिन दोनों खेल इतनी तेज़ी से विचलित होते हैं कि एक ही बारी के भीतर अंतर स्पष्ट हो जाता है। 4
| चाल के बाद | शतरंज, सटीक 4 | WordChess, अनुमान 7 |
|---|---|---|
| 1 | 400 | ~1012 |
| 2 | 197,281 | ~1018 |
| 3 | 119,060,324 | ~1024 |
| 4 | 84,998,978,956 | ~1030 |
| 5 | 69,352,859,712,417 | ~1036 |
शतरंज के आंकड़े सटीक चाल-उत्पादन गिनतियाँ (perft) हैं। 4 WordChess के आंकड़े मानते हैं कि हर खिलाड़ी की पहली बारी के लिए लगभग एक मिलियन वैध विन्यास हैं (यानी दोनों के चल लेने के बाद ~1012) और उसके बाद की हर बारी के लिए रूढ़िवादी ढंग से एक हज़ार, विधि-टिप्पणी देखें।
WordChess एक सौम्य रिश्तेदार जैसा दिखता है, ग्रिड पर एक शब्द-खेल, खंजर-लड़ाई से अधिक क्रॉसवर्ड के करीब। यह धारणा बिल्कुल गलत है, और इसका कारण उसके नियमों की एक ही पंक्ति है: प्रत्येक खिलाड़ी के पास सौ टाइलों का एक पूरा सेट होता है। 7
कोई सात-टाइल रैक नहीं, ड्रॉ का कोई भाग्य नहीं, किसी स्वर की प्रतीक्षा नहीं। किसी भी बारी में, एक खिलाड़ी शब्दकोश के 148,941 शब्दों में से लगभग किसी भी शब्द की ओर हाथ बढ़ा सकता है, पच्चीस अक्षरों तक लंबे शब्द, यानी बोर्ड की पूरी चौड़ाई जितने, और उसे रखने के लिए जगह खोज सकता है। 7 Scrabble, जो अपनी सात यादृच्छिक टाइलों से बँधा हुआ है, केवल उसी से बना सकता है जो संयोग से रैक में हो। 5 WordChess उस अड़चन को पूरी तरह हटा देता है।
परिणाम प्रचंड है। पहली ही बारी एक से दो मिलियन वैध विन्यासों में खुलती है, एक शब्द, एक दिशा, और खुले 25×25 बोर्ड पर एक स्थान। जब दोनों खिलाड़ी केवल एक बार चल चुके होते हैं, तब तक खेल लगभग एक ट्रिलियन स्थितियों में शाखित हो चुका होता है। शतरंज में, उसी आदान-प्रदान के बाद, चार सौ स्थितियाँ होती हैं। 4
नियम सरल हैं। संभावनाओं का क्षेत्र नहीं।
हर चिह्नित सीढ़ी अपने नीचे वाली सीढ़ी से चालीस परिमाण-क्रम, यानी 1040 गुना, ऊपर है। इस पैमाने पर, WordChess की पहली बीस चालें ब्रह्मांड के परमाणुओं की संख्या को साफ़ पार कर जाती हैं, और ठीक वहाँ पहुँचती हैं जहाँ शतरंज का एक पूरा खेल स्थित है। 1
जैसे-जैसे बोर्ड भरता है, शतरंज का शाखा-गुणक (branching factor) 35 की ओर बढ़ता है और वहीं टिका रहता है। WordChess का हज़ारों में बना रहता है, हर खेला गया शब्द जुड़ने के लिए एक नया आधार बन जाता है, और पूरे टाइल सेट का अर्थ है कि एकमात्र वास्तविक सीमा यह है कि शब्दकोश किन क्रॉसिंग्स की अनुमति देता है। 7
इसे आगे बढ़ाइए। भले ही हर बारी, समृद्ध शुरुआती बारी समेत, जानबूझकर रूढ़िवादी अनुमान के तौर पर केवल एक हज़ार वैध चालें देती, तब भी WordChess अपनी पहली बीस चालों के भीतर 10120, यानी शैनन की संख्या, एक पूरे शतरंज खेल की जटिलता, तक पहुँच जाता। प्रति बारी दस हज़ार चालें मानें, जो अब भी उचित है, और बीस चालें 10160 की ओर चढ़ जाती हैं: शतरंज के 1060 से साठ से सौ परिमाण-क्रम (orders of magnitude) अधिक। 1
अनुमान को इतना छोटा करें कि आप मान लें कि एक खिलाड़ी प्रति बारी केवल तीन सौ वैध चालें खोजता है, जो वास्तविक संख्या का एक अंश है, और फिर भी बीस चालें 1099 देती हैं। अभी भी शतरंज से चालीस क्रम-परिमाण आगे। निष्कर्ष आपके द्वारा दिए जा सकने वाले हर निराशावादी मान्यता से बच जाता है। 1
शतरंज की संख्याएँ दशकों की विस्तृत गणना का परिणाम हैं; वे ज्ञात हैं। WordChess की संख्याएँ सावधान अनुमान हैं, जो उसके वास्तविक मापदंडों से निकाली गई हैं, एक 25×25 बोर्ड, 148,941 शब्दों का शब्दकोश, और हर खिलाड़ी के हाथ में 100 टाइलों का पूरा सेट, और इनमें त्रुटि की गुंजाइश (error bars) बड़ी है। जिस बात में कोई संदेह नहीं, वह है अंतर की दिशा और उसका पैमाना। इस लेख की हर मान्यता रूढ़िवादी ढंग से चुनी गई थी, और फिर भी अंतर विशाल है।
शतरंज आपको बांधता है: एक घोड़ा घोड़े की तरह चलता है, एक पैदल एक खाना आगे बढ़ता है, और आपके विकल्प, हालाँकि समृद्ध, सीमित और परिचित हैं। WordChess आपको पूरी भाषा और पूरा बोर्ड सौंपता है और आपको चुनने को कहता है। यही वह व्यापार है जो डिज़ाइन करता है, और यही वजह है कि मित्रतापूर्ण ग्रिड एक संयोजनिक महासागर छुपाता है।
इनमें से कुछ भी यह सिद्ध नहीं करता कि WordChess को अच्छी तरह खेलना अधिक कठिन है; बड़ा खोज-क्षेत्र गहरी रणनीति के समान नहीं है, और शतरंज की प्रतिभा यही है कि वह अपनी संकरी शाखाओं से कितना अर्थ निचोड़ लेता है। लेकिन जो कोई शब्द-खेल को हल्का विकल्प समझता है, वह गणित को बिल्कुल उल्टा समझ रहा है। अपनी पहली बीस चालों तक, WordChess राजाओं के महान खेल को लगभग छोटा दिखा देता है।
Method. "20 moves" means 20 by each player, 40 half-moves, the chess convention. Chess: game count ≈ b40 with b ≈ 30–35 → ~1060. WordChess: opening branching estimated from (playable words that fit through the centre) × (placements per word) ≈ 106 per side; later turns held at a conservative 103–104. The 20-move figures deliberately apply that later-turn b to all 40 half-moves, openings included: b40 ≈ 10120–10160, a floor; counting the two ~106 opening turns adds about six more orders of magnitude (≈10126–10166). The 1099 floor uses b = 300 throughout. These are estimates, not proofs; see "A note on certainty."