शतरंज हमारी गहराई के लिए एक मानक है। एक शांत डिज़ाइन चयन WordChess को और भी गहरा बनाता है।
साल 1950 में, Claude Shannon, जो तथ्यात्मक सिद्धांत, के जनक हैं, ने अनुमान लगाया कि शतरंज के कितने अलग-अलग खेल संभव हैं। उनका उत्तर, लगभग 10120, बन गया Shannon संख्या, और यह हमारे अहसास का आधार बना रहती है तब से।1 यह एक ऐसा आंकड़ा है जो इतना विशाल है कि यह भौतिक ब्रह्मांड को भी शर्मिंदा कर देता है, जिसमें केवल लगभग 1080 परमाणु.6 हैं। आप प्रत्येक परमाणु को अपना एक अलग शतरंज का बोर्ड दे सकते हैं और फिर भी हर संभव खेल को खेलने के लिए पर्याप्त बोर्ड नहीं होंगे।
शतरंज यह मान्यता ईमानदारी से कमाता है। शुरुआत से ही, सफेद के पास 20 चालें होती हैं; काला 20 चालों से जवाब देता है, और एक ही आदान-प्रदान के बाद पहले से ही 400 स्थिति होती हैं। छह आधा-चालों में, गणना 119 मिलियनको पार कर जाती है; दसवीं चाल तक यह पहुँचती है 69 ट्रिलियन.4 खिलाड़ी इसे शाखांक (branching factor)कहते हैं, जो प्रत्येक चाल में वैध विकल्पों की संख्या है। शतरंज में यह औसतन लगभग 35.2 होता है। वह मध्यम आकार का आंकड़ा, चाल के बाद चाल जोड़कर, खेल की रहस्यमयता का इंजन है। पहले बीस चालों में यह लगभग 1060 खेलों का आदेश (order of magnitude) उत्पन्न करता है। शतरंज की गहराई का स्रोत टुकड़े नहीं हैं। यह शाखांक (branching) है।
शतरंज के प्रारंभिक चालों की संख्याएँ सटीक रूप से ज्ञात हैं। WordChess की संख्याएँ अनुमानित हैं, लेकिन दोनों खेल इतनी तेज़ी से अलग-अलग हो जाते हैं कि एक ही चाल के भीतर यह अंतर स्पष्ट हो जाता है।4
| चाल के बाद | शतरंज, सटीक 4 | WordChess, अनुमान 7 |
|---|---|---|
| 1 | 400 | ~1012 |
| 2 | 197,281 | ~1018 |
| 3 | 119,060,324 | ~1024 |
| 4 | 84,998,978,956 | ~1030 |
| 5 | 69,352,859,712,417 | ~1036 |
शतरंज की संख्याएँ सटीक चाल-जनरेशन गणनाएँ हैं (perft).4 WordChess की संख्याएँ यह मानकर की गई हैं कि प्रत्येक पक्ष के लिए लगभग एक लाख वैध प्रारंभिक स्थितियाँ हैं और उसके बाद एक संरक्षित हज़ार, देखें पद्धति नोट.
WordChess एक नरम रिश्तेदार जैसा लगता है, ग्रिड पर एक शब्द खेल, क्रॉसवर्ड के करीब, खूनी लड़ाई के नहीं। यह प्रभाव बिल्कुल गलत है, और इसके नियमों में एक ही पंक्ति इसका कारण है: हर खिलाड़ी के पास एक सौ टाइलों का पूरा पूल होता है।7
कोई सात-टाइल रैक नहीं, कोई ड्रॉ की किस्मत नहीं, कोई स्वर के लिए इंतज़ार नहीं। किसी भी चाल में, एक खिलाड़ी लगभग किसी भी 148,941 शब्द के लिए हाथ बढ़ा सकता है, शब्दकोश में, पच्चीस अक्षरों तक लंबे शब्द, और उसे रखने के लिए कहीं खोज सकता है।7 Scrabble, जिसकी सात यादृच्छिक टाइलों से गति धीमी की गई है, लगभग 35, की शाखा कारक प्रदान करता है, जो शतरंज के लगभग बराबर है।5 WordChess उस बाधा को पूरी तरह हटा देता है।
परिणाम भयंकर है। बिल्कुल पहली चाल कहीं एक से दो मिलियन कानूनी स्थितियों की ओर खुलती है, एक शब्द, एक दिशा, और खुले 25×25 बोर्ड पर एक जगह। जब दोनों खिलाड़ी ने बस एक बारचाल की है, तो खेल लगभग एक ट्रिलियन स्थितियों में शाखाओं में विभाजित हो चुका है। शतरंज, उसी आदान-प्रदान के बाद, चार सौ स्थितियाँ रखता है।3
नियम सरल हैं। संभावनाओं का क्षेत्र नहीं।
हर कड़ी उससे नीचे वाली कड़ी से दस गुना ऊँची है। इस पैमाने पर, WordChess की पहली बीस चालें ब्रह्मांड में परमाणुओं की संख्या को आसानी से पार कर जाती हैं, और ठीक वहाँ पहुँचती हैं जहाँ एक पूरा शतरंज का खेल स्थित है।1
जैसे-जैसे बोर्ड भरता है, चess की शाखांक (branching factor) 35 की ओर बढ़ती है और वहीं स्थिर रहती है। वर्डचेस की शाखांक हज़ारों में रहती है, क्योंकि हर खेला गया शब्द एक नया आधार बन जाता है जिससे जुड़ा जा सकता है, और पूरा टाइल पूल इसका अर्थ है कि एकमात्र वास्तविक सीमा यह है कि शब्दकोश किन क्रॉसिंग्स की अनुमति देता है।7
इसे आगे बढ़ाएं। एक जानबूझकर संरक्षक रूप से चुनी गई प्रति चाल हज़ार वैध चालों की दर पर, वर्डचेस पहुँच जाता है 10120, शैनन की संख्या, एक पूरे चess खेल की जटिलता, अपने पहले बीस चालोंके भीतर। प्रति चाल दस हज़ार चालों की अनुमति दें, जो अभी भी उचित है, और बीस चालें बढ़कर पहुँचती हैं 10160: चess की तुलना में चालीस से सौ क्रम की श्रेणी में एक अंतर 1060.1
अनुमान को इतना छोटा करें कि आप मान लें कि एक खिलाड़ी केवल तीस सौ कानूनी चालें प्रति मोड़, जो वास्तविक संख्या का एक अंश है, और बीस चालों में भी 1099. फिर भी शतरंज से चालीस क्रम के अंतर से आगे। यह निष्कर्ष हर पessimistic (पेसिमिस्टिक) मान्यता को सहन कर लेता है, जो आप उसे दे सकें।1
शतरंज की संख्याएँ दशकों के व्यापक गणना का परिणाम हैं; वे जानी जाती हैं. WordChess की संख्याएँ सावधान अनुमान हैं, जो इसके वास्तविक पैरामीटरों से निकाली गई हैं, एक 25×25 बोर्ड, एक 148,941-शब्द शब्दकोश, और पूरा पूल रैक, और इनमें चौड़े त्रुटि-पट्टियाँ (error bars) हैं। जिसमें कोई संदेह नहीं है, वह अंतर की दिशा और पैमाना है। इस लेख में हर मान्यता को संरक्षक (conservative) चुना गया है, और फिर भी अंतर विशाल है।
शतरंज आपको बांधता है: एक घोड़ा घोड़े की तरह चलता है, एक प्यादा एक चौरस पर रेंगता है, और आपके विकल्प, हालाँकि समृद्ध, परिमित और परिचित हैं। WordChess आपको पूरा भाषा और पूरा बोर्ड देता है और आपको चुनने के लिए कहता है। यही वह व्यापार है जो डिज़ाइन करता है, और यही वजह है कि मित्रतापूर्ण ग्रिड एक संयोजनिक महासागर को छुपाता है।
इनमें से कुछ भी WordChess को खेलने में अच्छानहीं बनाता, एक बड़ा खोज-क्षेत्र गहरी रणनीति के समान नहीं है, और शतरंज का प्रतिभा यह है कि वह अपने संकीर्ण शाखाओं से कितना अर्थ निकालता है। लेकिन कोई भी जो एक शब्द-खेल को हल्का विकल्प मानता है, गणित को बिल्कुल उल्टा समझ रहा है। अपने पहले बीस मोड़ों के लिए, WordChess राजाओं के महान खेल को लगभग छोटा दिखाता है।
विधि। "20 चालें" का अर्थ है प्रत्येक खिलाड़ी द्वारा 20, 40 आधा-चालें, शतरंज की पारंपरिक प्रथा। शतरंज: गेम की गणना ≈ b40 जहाँ b ≈ 30–35 → ~1060। WordChess: खोल की शाखा का अनुमान (केंद्र से गुजरने वाले खेलने योग्य शब्द) × (प्रति शब्द स्थितियाँ) ≈ 106 प्रति पक्ष से लगाया गया; बाद की चालों को एक संरक्षक 103–104 → b40 ≈ 10120–10160पर रखा गया। 1099 तल b = 300 का उपयोग करता है। ये अनुमान हैं, प्रमाण नहीं; "निश्चितता पर एक टिप्पणी" देखें।