दैनिक बोर्ड सात टाइल चौड़ा और सात टाइल ऊँचा है। यह छोटा लगता है। फिर आप गिनते हैं कि इसे कितने तरीकों से घुमाया जा सकता है, और वह संख्या ज़रा भी छोटी नहीं लगती।
अंग्रेज़ी में लिखा और संपादित। यह हिन्दी संस्करण मशीनी अनुवाद से तैयार किया गया है; जहाँ सटीकता महत्वपूर्ण हो, वहाँ अंग्रेज़ी मूल ही प्रामाणिक है। मूल अंग्रेज़ी में पढ़ें →
Conduit में हर टाइल के चार संभावित अभिविन्यास होते हैं, जहाँ वह बैठी है वहाँ से शून्य, एक, दो या तीन चौथाई-घुमाव। 1 दैनिक ग्रिड के उनचास खानों में से प्रत्येक को उन चारों में से एक स्वतंत्र विकल्प दें, तो अलग-अलग बोर्ड अवस्थाओं की संख्या 449 होती है। पूरा लिखें तो यह 316,912,650,057,057,350,374,175,801,344 है, तीन सौ ऑक्टिलियन से अधिक विन्यास, जिनमें से खेल आपसे एक ऐसा खोजने को कहता है जो पूरी तरह प्रकाशित और रिसाव-मुक्त हो।
वह फेरबदल जो आपको पहेली थमाता है, हर टाइल के लिए शून्य से तीन तक चौथाई-घुमावों की एक यादृच्छिक संख्या चुनता है। 1 इसलिए जो बोर्ड आपके सामने आता है, वह उस विशाल स्थान से एकसमान रूप से निकाला गया होता है, बस एक सावधान अपवाद को छोड़कर, जो खेल इसलिए रखता है कि आपको पहले से हल हुआ ग्रिड न थमा दे। 1 ब्रूट फ़ोर्स का सवाल ही नहीं उठता: खेल के अपने परीक्षण नोट करते हैं कि हर टाइल के चारों घुमाव आज़माना घातांकीय है, और वे संपूर्ण खोज केवल नौ या उससे कम खानों वाले खिलौना-आकार के बोर्डों पर ही चलाते हैं। 2
ऊपर दी गई वह संख्या ज़्यादा गिनती करती है, क्योंकि कुछ टाइलों को इससे फ़र्क नहीं पड़ता कि आप उन्हें कैसे घुमाते हैं। एक क्रॉस, जिसके चारों तरफ़ कनेक्टर हैं, चारों अभिविन्यासों में एक जैसा दिखता है; उसे घुमाने से कुछ नहीं बदलता। एक सीधी रेखा के केवल दो अलग रूप होते हैं, क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर, क्योंकि आधा घुमाव उसे स्वयं पर ही ले आता है। केवल असममित आकारों के, यानी कोहनी, टी और एक-कनेक्टर वाले सिरे के, वास्तव में चारों अभिविन्यास अलग-अलग होते हैं। 3
| आकार | कनेक्टर | अलग घुमाव | सममिति |
|---|---|---|---|
| सिरा (नोड/बल्ब) | 1 | 4 | कोई नहीं |
| रेखा | 2 | 2 | आधा घुमाव |
| कोहनी | 2 | 4 | कोई नहीं |
| टी | 3 | 4 | कोई नहीं |
| क्रॉस | 4 | 1 | पूर्ण |
आकारों के नाम खेल के डिज़ाइन नोट्स में दिए गए हैं; अलग-अलग अभिविन्यासों की गिनती इस बात से निकलती है कि चार-बिट कनेक्टर मास्क सूचीबद्ध घुमावों के तहत अपरिवर्तित रहता है। 3 प्रभावी खोज-स्थान 449 से ठीक इन प्रति-टाइल सममितियों के गुणनफल के गुणक से छोटा है, लेकिन कोहनियों और टी के अच्छे-ख़ासे मिश्रण वाले किसी भी बोर्ड पर यह अब भी खगोलीय रूप से विशाल है।
प्रश्न को उलट दें। उन अभिविन्यासों को भूल जाएँ जिन्हें आप आज़मा सकते हैं; पूछें कि पहले-पहल कितने हल हुए बोर्ड संभव ही हैं। एक पूरा हुआ Conduit ग्रिड पाइपों का ऐसा समुच्चय है जो जुड़ा हुआ है, जिसमें बिजली हर टाइल तक पहुँचती है, और जिसमें कोई व्यर्थ लूप नहीं है, क्योंकि जनरेटर जो बनाता है वह एक स्पैनिंग ट्री है: जुड़ा हुआ, चक्र-रहित, स्रोत से हर नोड तक एक ही पथ। 3 ऐसी हर वायरिंग, ठीक-ठीक, ग्रिड ग्राफ़ का एक स्पैनिंग ट्री है, जहाँ शीर्ष खाने हैं और किनारे वे साझा सीमाएँ हैं जिन्हें कोई पाइप पाट सकता है।
और स्पैनिंग ट्री की गिनती सटीक रूप से की जा सकती है। किरचॉफ का मैट्रिक्स-ट्री प्रमेय, 1847 का एक परिणाम, कहता है कि किसी भी ग्राफ़ के स्पैनिंग ट्री की संख्या उसके लाप्लासियन मैट्रिक्स के किसी भी सहखंड के बराबर होती है, एक ऐसा सारणिक जिसकी गणना आप बहुपद समय में कर सकते हैं। 4 ग्रिडों के लिए यह गिनती आकार के साथ फट पड़ती है: एक मामूली 4×4 जालक में ही 100,352 स्पैनिंग ट्री हैं, और वहाँ से संख्या भयंकर गति से चढ़ती है। उनमें से हर एक Conduit का एक वैध, पूरी तरह प्रकाशित समाधान है। पहेली इसलिए कठिन नहीं है कि उत्तर दुर्लभ हैं, बल्कि इसलिए कि वे लगभग-उत्तरों की कहीं बड़ी भीड़ में छिपे हैं।
हल हुई अवस्थाएँ गिनी जा सकती हैं और अनेक हैं; फेरबदल की हुई अवस्थाएँ गिनी जा सकती हैं और उससे कहीं अधिक हैं। हल करना उस सुई की खोज है जिसके होने का आपको पता है, क्योंकि खेल ने उसे जान-बूझकर वहाँ छिपाया है।
आप उम्मीद कर सकते हैं कि पहेली टुकड़ों में बँट जाएगी: पहले ऊपरी-बायाँ खाना तय करें, फिर उसके बगल वाली टाइल, और यों सलीके से दूर वाले कोने तक बढ़ते जाएँ। कभी-कभी बोर्ड का कोई हिस्सा इसके आगे झुक भी जाता है। कोने की टाइल के केवल दो किनारे पड़ोसियों को छूते हैं, इसलिए उसके कनेक्टर बहुत सीमित होते हैं; सीमा पर बैठा सिरा केवल अंदर की ओर ही इशारा कर सकता है। ये बाध्य चालें पैर टिकाने की जगह देती हैं।
लेकिन जीत की दोनों शर्तें इतनी सहजता से शृंखला नहीं बनातीं। रिसाव-मुक्त एक स्थानीय गुण है, आप उसे किनारे-दर-किनारे जाँच सकते हैं। संचालित ऐसा नहीं है: कोई टाइल प्रकाशित है या नहीं, यह जोड़ों की उस अटूट शृंखला पर निर्भर करता है जो पूरे रास्ते स्रोत तक वापस जाती है, संभवतः पूरे बोर्ड के आर-पार। 3 एक कोने में आपका किया गया बदलाव किसी दूर के इलाके को अँधेरे में डुबो सकता है, उस इकलौते रास्ते को तोड़कर जो उसे बिजली पहुँचा रहा था। यही युग्मन, कि हर टाइल का भाग्य संभवतः पूरे ग्रिड से गुज़रते किसी मार्ग से बँधा है, एक घुमाव-पहेली को आसान हिसाब-किताब में ढहने से रोकता है, और इसीलिए व्यापक Net/Pipes परिवार के हल-कर्ता सीधे-सादे बाएँ-से-दाएँ झाड़ू के बजाय constraint propagation और खोज पर टिकते हैं। 5
अवस्था-स्थान की तमाम विशालता के बावजूद, जिस मात्रा पर Conduit आपको आँकता है, वह छोटी और मानवीय है: आपने कितनी बार टैप किया। स्कोर 1000 − 4 × चालें − 2 × सेकंड है, जिसकी निचली सीमा शून्य है। 3 किसी भी दिए गए बोर्ड के लिए घुमावों की एक सैद्धांतिक न्यूनतम संख्या होती है, यानी सभी टाइलों पर, हल हुए अभिविन्यास तक पहुँचने के लिए ज़रूरी सबसे कम चौथाई-घुमावों का योग, और उससे आगे हर फ़ालतू घुमाव आपको चार अंक का पड़ता है, हर निष्क्रिय सेकंड दो अंक का।
तो असली खेल दो विशाल तथ्यों और एक छोटे तथ्य के बीच बैठा है। भूसे का ढेर 449 अभिविन्यास चौड़ा है; सुइयाँ ग्रिड के अनेक स्पैनिंग ट्री हैं; और आपका काम एक से दूसरे तक उस इकलौती वैध चाल के जितने कम प्रयोगों में हो सके, उतने में पहुँचना है। संचयिकी गारंटी देती है कि उत्तर वहाँ मौजूद है। स्कोरिंग चुपचाप आपको बिना भटके उसे खोज निकालने की चुनौती देती है। 4